Question

已知橢圓（a＞b＞0）的右焦點為，四個頂點構成的四邊形面積為12
（1）求橢圓的方程
（2）設點P（0，3），若在橢圓上的點M、N滿足，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵橢圓（a＞b＞0）的右焦點為，
四個頂點構成的四邊形面積為12，
∴，
解得a=3，b=2，
∴橢圓的方程為．
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（0，3）
∵，
（x₁，y₁-3）=λ（x₂，y₂-3），x₁=λx₂，
y=kx+3 與橢圓聯立整理得
（9k²+4）x²+54kx+45=0，
x₁+x₂=（1+λ）x₂=-，
，（1）
=λx₂²，（2）
將（1）代入（2）
λ ，
整理得k²=，
在（9k²+4）x²+54kx+45=0中，
△=（54k）²-4（9k²+4）×45≥0，
整理得k²≥，
將k²=代入，
整理得，
所以．
分析：（1）由橢圓（a＞b＞0）的右焦點為，四個頂點構成的四邊形面積為12，得到，由此能求出橢圓的方程．
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（0，3）由，知（x₁，y₁-3）=λ（x₂，y₂-3），x₁=λx₂，y=kx+3 與橢圓聯立得（9k²+4）x²+54kx+45=0，由△≥0，得k²≥，由此入手，由韋達定理能夠求出實數λ的取值范圍．
點評：通過幾何量的轉化考查用待定系數法求曲線方程的能力，通過直線與圓錐曲線的位置關系處理，考查學生的運算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學生分析轉化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現了合理消元，設而不解的代數變形的思想．