Question

（2012•盧灣區一模）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=2bcosC，b+c=3a．求sinA的值．

Answer 1

分析：由a=2bcosC及正弦定理，得sinA=2sinB cosC，展開整理得sin（B-C）=0，可得b=c．由b+c=3a，求得cosC=

a

2b

=

1

3

，再求得sinC，由sinA=sin（π-2C）=2sinCcosC 求得結果．

解答：解：由a=2bcosC及正弦定理，得 sinA=2sinB cosC，又 A=π-B-C，
可化為sin（B+C）=2sinB cosC，展開整理得sin（B-C）=0，（4分）
在三角形中得B-C=0，即B=C，可得b=c．（6分）
于是由b+c=3a，得2b=3a，因此 cosC=

a

2b

=

1

3

，（8分）
可得sinC=

2 2

3

，（10分）
故sinA=sin（π-2C）=2sinCcosC=

4 2

9

．（12分）

點評：本題主要考查正弦定理的應用，三角形的內角和公式，判斷三角形的形狀的方法，屬于中檔題．