Question

(華南師大附中模擬)已知函數(x＞0)．

(1)當0＜a＜b，且f(a)=f(b)時，求證：ab＞1；

(2)是否存在實數a，b(a＜b)，使得函數y=f(x)的定義域、值域都是[a，b]，若存在，則求出a，b的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)故f(x)在(0，1]上是減函數，而在上是增函數，由0＜a＜b而f(a)=f(b)得0＜a＜1＜b，即，而，所以ab＞1． (2)不存在這樣的實數a，b．假設存在這樣的實數a，b使得函數y=f(x)的定義域、值域是都是[a，b]，①當0＜a＜b＜1時，函數在(0，1]上是減函數，則即解得a=b，與0＜a＜b＜1矛盾，故此時不存在滿足條件的實數a，b． ②當1＜a＜b時，函數在上是增函數，則即此時實數a，b為方程的兩根，但方程無實數根，因此不存在滿足條件的實a，b． ③當0＜a＜1＜b時，顯然有，而(這是因為a＞0)，故此時不存在滿足條件的實數a，b． 綜合①②③可得滿足條件的實數是不存在的．