Question

（2008•虹口區二模）已知數列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=2（

n+1

n

）²a_n
（1）求數列{a_n}的通項公式
（2）設b_n=（An²+Bn+C）•2ⁿ，是否存在常數A、B、C，使對一切n∈N^*，均有a_n=b_n+1-b_n成立？若存在，求出常數A、B、C的值，若不存在，說明理由
（3）求證：a₁+a₂+…+a_n≤（n²-2n+2）•2ⁿ，（ n∈N^*）

Answer 1

分析：（1）用n=1、n=2、n=3、…，一共n-1個值代入式子：a_n+1=2（

n+1

n

）²a_n得到n-1個等式，將此n-1個等式相乘，就可以得到a_n=2^n-1n²a₁=2ⁿ•n²；
（2）根據b_n=（An²+Bn+C）•2ⁿ，得到b_n+1=（A（n+1）²+B（n+1）+C）•2ⁿ⁺¹，再將b_n+1-b_n進行化簡，整理得
（An²+（4A+B）n+2A+2B+C）•2ⁿ，最后根據An²+（4A+B）n+2A+2B+C=2ⁿ恒等，采用比較系數法，可得A、B、C的值；
（3）采用數學歸納法，先驗證n=1時不等式的等號成立，然后假設n=k（n≥2）時不等式成立，即a₁+a₂+…+a_k≤（k²-2k+2）•2^k，采用放縮的方法可以證出n=k+1時，a₁+a₂+…+a_k+a_k+1）≤（（k+1）²-2（k+1）+2）•2^k+1也成立，因此可以得出結論對所有的正整數n，不等式都能成立．

解答：解：（1）由a_n+1=2（

n+1

n

）²a_n得：
a2=2(

1+1

1

)  2a1⇒a2=2(

2

1

) 2a1
a3=2(

2+1

2

) 2a2⇒a3=2(

3

2

) 2a2
…
an=2(

n-1+1

n-1

) 2an-1⇒an=2(

n

n-1

) 2an-1
將這n-1個式子相乘，得a_n=2^n-1n²a₁=2ⁿ•n²，
（2）∵b_n=（An²+Bn+C）•2ⁿ
∴b_n+1=（A（n+1）²+B（n+1）+C）•2ⁿ⁺¹
∴b_n+1-b_n=（A（n+1）²+B（n+1）+C）•2ⁿ⁺¹-（An²+Bn+C）•2ⁿ
=（An²+（4A+B）n+2A+2B+C）•2ⁿ
若a_n=b_n+1-b_n成立，則2ⁿ•n²=（An²+（4A+B）n+2A+2B+C）•2ⁿ對一切正整數n都成立
∴An²+（4A+B）n+2A+2B+C=n²
∴

A=1 4A+2B=0 2A+2B+C=0

⇒A=1，B=-4，C=6；
（3）用數學歸納法進行證明：
當n=1時，a₁=2≤（1²-2×1+2）•2¹：=2，式子成立
當n≥2時，設n=k時不等式成立，
即a₁+a₂+…+a_k≤（k²-2k+2）•2^k成立，則
a₁+a₂+…+a_k+a_k+1≤（k²-2k+2）•2^k+2^k+1•（k+1）²
而（k²-2k+2）•2^k+2^k+1•（k+1）²=2^k+1[（

1

2

k²-k+1）+（k²+2k+1）]
=2^k+1（

3

2

k²+k+2）
并且2^k+1（

3

2

k²+k+2）≤（（k+1）²-2（k+1）+2）•2^k+1，
∴a₁+a₂+…+a_k+a_k+1）≤（（k+1）²-2（k+1）+2）•2^k+1
即n=k+1時不等式成立，
綜上所述，可得對任意 n∈N^*，a₁+a₂+…+a_n≤（n²-2n+2）•2ⁿ 總成立

點評：本題主要考查了數列的遞推式、數學歸納法和不等式的證明等知識點，是一道難題．注意解題過程中數學歸納的一般方法和不等式放縮的技巧，以達到證明的目的．