Question

數列{a_n}和數列{b_n}（n∈N^*）由下列條件確定：
（1）a₁＜0，b₁＞0；
（2）當k≥2時，a_k與b_k滿足如下條件：當≥0時，a_k=a_k-1，b_k=；當＜0時，a_k=，b_k=b_k-1．
解答下列問題：
（Ⅰ）證明數列{a_k-b_k}是等比數列；
（Ⅱ）記數列{n（b_k-a_n）}的前n項和為S_n，若已知當a＞1時，=0，求．
（Ⅲ）m（n≥2）是滿足b₁＞b₂＞…＞b_n的最大整數時，用a₁，b₁表示n滿足的條件．

Answer 1

解：（Ⅰ）當≥0時，b_k-a_k=-a_k-1=（b_k-1a_k-1），
當＜0時，b_k-a_k=b_k-1-=（b_k-1a_k-1），
所以不論哪種情況，都有b_k-a_k=（b_k-1a_k-1），又顯然b₁-a₁＞0，故數列{a_k-b_k}是等比數列（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b_n-a_n=（b₁-a₁）=，故n（b_n-a_n）=（b₁-a₁）•，
S_n=（b₁-a₁）（1+++…++），所以S_n=（b₁-a₁）（1++…++），
所以S_n=（b₁-a₁）（1+++…++），S_n=（b₁-a₁）[4（1-）-]（7分）
又當a＞1時=0，S_n=4（b₁-a₁）．（8分）

（Ⅲ）當b₁＞b₂＞…＞b_n（n≥2）時，b_k≠b_k-1（2≤k≤n），由（2）知＜0不成立，
故≥0，從而對于2≤k≤n，有a_k=a_k-1，b_k=，于是a_n=a_n-1=…=a₁，
故b_n=a₁+（b₁-a₁）（10分）
={a₁+[a₁+（b₁-a₁）]}若≥0，則b_n+1=，
b_n+1-b_n={a₁+（b₁-a₁）}-{a₁+（b₁-a₁）}=-（b₁-a₁）＜0，
所以b_n+1＜b_n=，這與n是滿足b₁＞b₂＞…＞b_n（n≥2）的最大整數矛盾．
因此n是滿足＜0的最小整數．（12分）
而＜0?＜2ⁿ?log₂＜n，
因而n是滿足log₂＜n的最小整數．（14分）
分析：（Ⅰ）分情況討論，并分別做差a_k-b_k，從而可證明等比數列．
（Ⅱ）利用第一問的結論：數列{a_k-b_k}是等比數列，求出數列{n（b_n-a_n）}的前n項和為S_n，再求極限得解．
（Ⅲ）如果n（n≥2）是滿足b₁＞b₂＞…＞b_n的最大整數，利用已知條件，從而推出b_n通項．再利用b_n的性質推出因此n是滿足＜0的最小整數．進而可推得n滿足的條件（用a₁，b₁表示）．
點評：本題是等比數列的綜合題，考查等比數列證明，極限求法，不等式等有關知識，要求能力比較高，值得好好研究學習．