Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，首項(xiàng)a₁＝1，公差d為整數(shù)，且滿足a₁+3<a₃,a₂+5>a₄，數(shù)列{b_n}滿足b_n=，其前n項(xiàng)和為S_n．
(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
(2)若S₂為S₁，S_m (m∈N^＊)的等比中項(xiàng),求正整數(shù)m的值．
(3)對(duì)任意正整數(shù)k,將等差數(shù)列{a_n}中落入?yún)^(qū)間(2^k,2^2k)內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為c_k,求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n

Answer 1

（1）=1+(n1)2=2n1；（2）=12；（3）.

試題分析：（1）根據(jù)題意先確定的值，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；（2）根據(jù)（1）所得的通項(xiàng)公式求出，利用裂項(xiàng)求和法求出其前項(xiàng)和，再根據(jù)等比中項(xiàng)的定義列式求解；（3）)對(duì)任意正整數(shù)k，，則,而，由題意可知 ，利用分組求和法可解答.
試題解析：（1）由題意，得解得< d <．           2分
又d∈Z，∴d=2．
∴=1+(n1)2=2n1．             4分
（2）∵            ..6分
∴       7分
∵，，，為， ()的等比中項(xiàng)，
∴，即，
解得=12．                                               .9分
(3)對(duì)任意正整數(shù)k，，則,
而，由題意可知   ,                  12分
于是
，
即.                                 14分項(xiàng)和公式.