Question

若F₁、F₂分別為雙曲線 －＝1下、上焦點，O為坐標原點，P在雙曲線的下支上，點M在上準線上，且滿足：，
（1）求此雙曲線的離心率；
（2）若此雙曲線過N(，2)，求此雙曲線的方程
（3）若過N(，2)的雙曲線的虛軸端點分別B₁，B₂(B₂在x軸正半軸上)，點A、B在雙曲線上，且，求時，直線AB的方程．

Answer 1

(1) e="2;(2)" 雙曲線的方程為－＝1;(3) AB的方程為y=±(x－3) .

(1) ，∴PF₁OM為平行四邊形，
又知M在∠PF₁O的角平分線上，
∴四邊形PF₁OM為菱形，且邊長為＝c
∴＝2a+＝2a+c，由第二定義＝e即＝e，∴+1＝e且e>1
∴e="2"
(2)由e=2，∴c=2a即b²=3a²，雙曲線方程為 －＝1
又N(，2)在雙曲線上，∴－＝1，∴a²＝3∴雙曲線的方程為－＝1;
(3)由知AB過點B₂，若AB⊥x軸，即AB的方程為x=3，此時AB₁與BB₁不垂直；設AB的方程為y=k(x－3)代入－＝1得
(3k²－1)x²－18k²x+27k²－9="0"
由題知3k²－1≠0且△>0即k²> 且k²≠，
設交點A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，＝(x₁+3，y₁)，＝(x₂+3，y₂)，
∵，∴＝0即x₁x₂+3(x₁+x₂)+9+y₁y₂＝0
此時x₁+x₂＝，x₁·x₂=9，
y₁y₂＝k²(x₁－3) (x₂－3)＝k²[x₁x₂－3(x₁+x₂)+9]= k²[18－]＝－
∴9＋3＋9－＝0，∴5 k²＝1，∴k＝±
∴AB的方程為y=±(x－3) .