Question

已知拋物線y²＝4x，過點M(0,2)的直線l與拋物線交于A、B兩點，且直線l與x軸交于點C.

(1)求證：|MA|，|MC|，|MB|成等比數列；

(2)設＝α， ＝β，試問α＋β是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

(1)由題意設直線l的方程為：y＝kx＋2(k≠0)，

聯立方程可得，消去y并整理得：k²x²＋(4k－4)x＋4＝0①

設A(x₁，y₁) ，B(x₂ ，y₂)，又C(－，0)，則

x₁＋x₂＝－，x₁·x₂＝②

|MA|·|MB|＝|x₁－0|·|x₂－0|＝，

而|MC|²＝(|－－0|)²＝，

∴|MC|²＝|MA|·|MB|≠0 ，

即|MA|，|MC|，|MB|成等比數列.

(2)由＝α， ＝β得，

(x₁，y₁－2)＝α(－x₁－，－y₁)，

(x₂，y₂－2)＝β(－x₂－，－y₂)，

即得：α＝，β＝，則

α＋β＝

 把(1)中②代入上式整理可得α＋β＝－1，故α＋β為定值且定值為－1.