Question

已知點P（2，0）及圓C：x²+y²-6x+4y+4=0．
（Ⅰ）若直線l過點P且與圓心C的距離為1，求直線l的方程；
（Ⅱ）設過P直線l₁與圓C交于M、N兩點，當|MN|=4時，求以MN為直徑的圓的方程；
（Ⅲ）設直線ax-y+1=0與圓C交于A，B兩點，是否存在實數a，使得過點P（2，0）的直線l₂垂直平分弦AB？若存在，求出實數a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分兩種情況：當直線l的斜率存在時，設出直線l的斜率為k，由P的坐標和設出的k寫出直線l的方程，利用點到直線的距離公式表示出P到直線l的距離d，讓d等于1列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P寫出直線l的方程即可；當直線l的斜率不存在時，得到在線l的方程，經過驗證符合題意；
（Ⅱ）由利用兩點間的距離公式求出圓心C到P的距離，再根據弦長|MN|的一半及半徑，利用勾股定理求出弦心距d，發現|CP|與d相等，所以得到P為MN的中點，所以以MN為直徑的圓的圓心坐標即為P的坐標，半徑為|MN|的一半，根據圓心和半徑寫出圓的方程即可；
（Ⅲ）把已知直線的方程代入到圓的方程中消去y得到關于x的一元二次方程，因為直線與圓有兩個交點，所以得到△＞0，列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍，利用反證法證明：假設符合條件的a存在，由直線l₂垂直平分弦AB得到圓心必在直線l₂上，根據P與C的坐標即可求出l₂的斜率，然后根據兩直線垂直時斜率的乘積為-1，即可求出直線ax-y+1=0的斜率，進而求出a的值，經過判斷求出a的值不在求出的范圍中，所以假設錯誤，故這樣的a不存在．

解答：解：（Ⅰ）設直線l的斜率為k（k存在）則方程為y-0=k（x-2）．
又圓C的圓心為（3，-2），半徑r=3，
由

|3k+2-2k|

k2+1

=1，解得k=-

3

4

．
所以直線方程為y=-

3

4

(x-2)，即3x+4y-6=0；
當l的斜率不存在時，l的方程為x=2，經驗證x=2也滿足條件；
（Ⅱ）由于|CP|=

5

，而弦心距d=

r2-( |MN| 2 )2

=

5

，
所以d=|CP|=

5

，所以P為MN的中點，
所以所求圓的圓心坐標為（2，0），半徑為

1

2

|MN|=2，
故以MN為直徑的圓Q的方程為（x-2）²+y²=4；
（Ⅲ）把直線ax-y+1=0即y=ax+1．代入圓C的方程，消去y，整理得（a²+1）x²+6（a-1）x+9=0．
由于直線ax-y+1=0交圓C于A，B兩點，
故△=36（a-1）²-36（a²+1）＞0，即-2a＞0，解得a＜0．
則實數a的取值范圍是（-∞，0）．
設符合條件的實數a存在，
由于l₂垂直平分弦AB，故圓心C（3，-2）必在l₂上．
所以l₂的斜率k_PC=-2，
而kAB=a=-

1

kPC

，
所以a=

1

2

．
由于

1

2

∉(-∞，0)，
故不存在實數a，使得過點P（2，0）的直線l₂垂直平分弦AB．

點評：此題考查學生掌握直線與圓的位置關系，靈活運用點到直線的距離公式及兩點間的距離公式化簡求值，考查了分類討論的數學思想，以及會利用反證法進行證明，是一道綜合題．