Question

已知函數f（x）=|2^|x|-2|，x∈R．
①判斷函數y=f（x）的奇偶性，并證明你的結論；
②作出函數y=f（x）的圖象，并完成下列填空．
已知關于x的方程f（x）=k，則當k∈

{0}∪（1，+∞）

時，方程有2個根；當k=

1

時，方程有3個根；當k

∈（0，1）

時，方程有4個根．

Answer 1

分析：①由題意，本題要先判斷出函數的奇偶性，再利用定義證明，直接驗證f（-x）與f（x）的關系即可；
②先作出如圖的圖象，由圖易得出方程f（x）=k的根的個數與k的取值范圍的關系．

解答：解：①函數的解析式知此函數是一個偶函數，證明如下：
因為f（-x）=|2^|-x|-2|=|2^|x|-2|=f（x）故函數是一個偶函數；
②函數的圖象如右圖
由圖象知，當k＞1時，方程有二個根；
當k=0或1時，方程有三個根；
當0＜k＜1時，方程有四個根
故答案為＞1； 0或1；∈（0，1）

點評：本題研究函數奇偶性的判斷，解題的關鍵是熟練掌握用定義法判斷函數的奇偶性，本題第二小題作出準確的圖象很關鍵，要注意把一些關鍵點做準確，本題考查了判斷證明的能力及作圖能力，是函數考查的基礎題