Question

已知f（n）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

(n∈N+)．
經計算得f（2）=

3

2

，f（4）＞2，f（8）＞

5

2

，f（16）＞3，f（32）＞

7

2

…，通過觀察，我們可以得到一個一般性的結論．
（1）試寫出這個一般性的結論；
（2）請證明這個一般性的結論；
（3）對任一給定的正整數a，試問是否存在正整數m，使得1+

1

2

+

1

3

+…+

1

m

＞a？若存在，請給出符合條件的正整數m的一個值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據條件通過觀察，可以得到一個一般性的結論 f（2ⁿ）≥

n+2

2

，（當且僅當n=1時取等號）．
（2）用數學歸納法證明，檢驗n=1時等式成立，假設n=k時成立，證明當n=k+1時，等式也成立．
 （3）由（2）可得，存在m滿足條件，a=1+

1

2

k，只要 

1

m

≥

1

2k

 即可，從而得到m的取值范圍，借口求得m的值

解答：解：（1）根據f（2）=

3

2

，f（4）＞2，f（8）＞

5

2

，f（16）＞3，f（32）＞

7

2

…，通過觀察，
我們可以得到一個一般性的結論 f（2ⁿ）≥

n+2

2

，（當且僅當n=1時取等號）．…（4分）
（2）證明：（數學歸納法）
①當n=1時，結論顯然成立．
②假設當n=k時成立，即

1

2

 +

1

3

+

1

4

+…+

1

2k

≥1+

1

2

k，…（2分）
當n=k+1時，左邊=

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

2k

+…+

1

2×2k

≥1+

1

2

k+

1

2k+1

+

1

2k+2

+…+

1

2k+2k

  
≥1+

1

2

k+

2k

2k+2k

=1+

1

2

(k+1)=右邊．
即當n=k+1時，f（2ⁿ）≥1+

1

2n

 也成立．…（3分）
由①②知，f（2ⁿ）≥1+

1

2n

  成立． …（1分）
（3）由（2）可得，存在m滿足條件．…（1分）
令 a=1+

1

2

k，只要 

1

m

≥

1

2k

 即可，即

1

m

≥

1

22a-2

=

4

22a

，即 m≥

22a

4

，
可取 m=2^2a．…（3分）

點評：本題主要考查的知識點是歸納推理，由特殊的列子得到一般性的結論，用數學歸納法證明不等式，屬于難題．