Question

【題目】Monte-Carlo方法在解決數學問題中有廣泛的應用．下面利用Monte-Carlo方法來估算定積分．考慮到等于由曲線，軸，直線所圍成的區域的面積，如圖，在外作一個邊長為1正方形OABC．在正方形OABC內隨機投擲n個點，若n個點中有m個點落入M中，則M的面積的估計值為，此即為定積分的估計值．現向正方形OABC中隨機投擲10000個點，以X表示落入M中的點的數目．

（1）求X的期望和方差；

（2）求用以上方法估算定積分時，的估計值與實際值之差在區間（-0.01，0.01）的概率．

附表：

	1899	1900	1901	2099	2100	2101
	0.0058	0.0062	0.0067	0.9933	0.9938	0.9942

Answer 1

【答案】（1）；（2）0.9871.

【解析】

（1）利用定積分求出曲邊梯形的面積得到每個點落入的概率，再利用二項分布求出隨機變量的期望和方差.

（2）所求概率為，利用表中數據可得結果.

(1)依題意，每個點落入中的概率為，，

所以.

(2)依題意，所求概率為

.