Question

已知函數f（x）=

1

1+x

，正項數列{a_n}滿足a_n+2=f（a_n），若a₂₀₁₁=a₂₀₁₃，則a₁=

-1+ 5

2

．

Answer 1

分析：先求出a₂₀₁₁的值，再計算a₂₀₀₉，由此發現規律，即可得到結論．

解答：解：∵函數f（x）=

1

1+x

，正項數列{a_n}滿足a_n+2=f（a_n），
∴a_n+2=

1

1+an

取n=2011，∵a₂₀₁₁=a₂₀₁₃，∴a₂₀₁₁=

1

1+a2011

所以（a₂₀₁₁）²+a₂₀₁₁-1=0，
∴a₂₀₁₁是方程x²+x-1=0的根，a₂₀₁₁＞0
∴a₂₀₁₁=

-1+ 5

2

∵a_n+2=

1

1+an

，∴a_n=

1

an+2

-1
∴a₂₀₀₉=

1

a2011

-1=

-1+ 5

2

依此類推可得a₁=

-1+ 5

2

故答案為：

-1+ 5

2

點評：本題考查數列與函數的結合，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．