Question

【題目】已知函數（，為自然對數的底數），且在點處的切線的斜率為，函數.

（1）求的單調區間和極值；

（2）若，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）的單調減區間為，單調增區間為，極小值1，無極大值.（2）最大值為.

【解析】

（1）首先根據在點處的切線的斜率為，得到，再求單調區間和極值即可.

（2）令，通過求導，討論的范圍得到：當時，，再構造，求其單調區間和最值即可得到的最大值.

（1）由已知得，在點處的切線的斜率為，

所以，從而，.

因為，在上遞增，且，

所以當時，；時，，

的單調減區間為，單調增區間為，

所以，無極大值.

（2）

令，得，

①當時，

在上單調遞增，

當時，，與相矛盾；

②當時，

，此時；

③當時，

，得，

所以在，為減函數，在，為增函數.

當時，，

即，

所以（其中）.

令，則，

∴，，

所以在，為增函數，在，為減函數.

當時，，

即：當時，的最大值為，

所以的最大值為.

綜上所述：的最大值為.