Question

（本小題滿分14分）

已知函數f (x)＝（2－a）（x－1）－2lnx，（a∈R，e為自然對數的底數）

（1）當a＝1時，求f (x)的單調區間；

（2）若函數f (x)在（0，）上無零點，求a的最小值

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的單調減區間為單調增區間為；

     （Ⅱ）若函數在上無零點，則的最小值為。

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。

（1）當時，

由由借助于導數可知    

故的單調減區間為單調增區間為 

（2）因為在上恒成立不可能，故要使函數在上無零點，

只要對任意的恒成立，即對恒成立．

運用轉換與化歸思想得到證明。

解：（Ⅰ）當時，

由由                  

故的單調減區間為單調增區間為         ------------------6分

     （Ⅱ）因為在上恒成立不可能，故要使函數在上無零點，

只要對任意的恒成立，即對恒成立．

令則

再令

在上為減函數，于是

從而，，于是在上為增函數

故要使恒成立，只要

綜上，若函數在上無零點，則的最小值為-----------8分