Question

在平面直角坐標系xoy中，點B與點A（0，2）關于原點O對稱，P是動點，AP⊥BP．
（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設直線l：y=x+m與曲線C交于M、N兩點，
ⅰ）若

OM

•

ON

=-1，求實數m取值；
ⅱ）若點A在以線段MN為直徑的圓內，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據點B與點A（0，2）關于原點O對稱，得出B（0，-2）．如圖，由于AP⊥BP，得出動點P的軌跡C是以O為圓心，2為半徑的圓，最后寫出動點P的軌跡C的方程；
（II）i）設直線l：y=x+m與曲線C交于M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）兩點，將直線的方程代入圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用向量數量積的坐標公式即可求得m值，從而解決問題．
ii）若點A在以線段MN為直徑的圓內，則∠MAN＞90°，即

AM

•

AN

＜ 0，同i）理，即可求出實數m的取值范圍．

解答：解：（I）∵點B與點A（0，2）關于原點O對稱，
∴B（0，-2）．如圖，
∵AP⊥BP，
∴在直角三角形AOB中，OP=

1

2

AB=

1

2

×4=2，
∴動點P的軌跡C是以O為圓心，2為半徑的圓，
它的方程為x²+y²=4．
（II）
i）設直線l：y=x+m與曲線C交于M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）兩點，
聯立方程組

x2+y2=4 y=x+m

，得2x²+2mx+m²-4=0，
則x₁+x₂=-m，x₁x₂=

1

2

（m²-4），
且△=（2m）²-4×2（m²-4）≥0?-2

2

≤m≤2

2

．
∴y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）=x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=

1

2

（m²-4）+m（-m）+m²=

1

2

（m²-4），
∵

OM

•

ON

=-1，∴x₁x₂+y₁y₂=-1，
即m²-4=-1，∴m=±

3

．
ii）若點A在以線段MN為直徑的圓內，則∠MAN＞90°，
即

AM

•

AN

＜ 0，
即（x₁，y₁-2）•（x₂，y₂-2）＜0，
x₁x₂+y₁y₂-2（y₁+y₂）+4＜0
從而有：

1

2

（m²-4）+

1

2

（m²-4）-2（-m+2m）+4＜0
∴0＜m＜2．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、導數在最大值、最小值問題中的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．