Question

如圖，建立平面直角坐標系，軸在地平面上，軸垂直于地平面，單位長度為1千米．某炮位于坐標原點．已知炮彈發射后的軌跡在方程表示的曲線上，其中與發射方向有關．炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標．

（1）求炮的最大射程；

（2）設在第一象限有一飛行物（忽略其大小），其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）炮的最大射程是10千米。（2）當不超過6千米時，炮彈可以擊中目標。

【考點】函數、方程和基本不等式的應用。

【解析】（1）求炮的最大射程即求與軸的橫坐標，求出后應用基本不等式求解。

（2）求炮彈擊中目標時的橫坐標的最大值，由一元二次方程根的判別式求解

解：（1）在中，令，得。

                  由實際意義和題設條件知。

                  ∴，當且僅當時取等號。

                  ∴炮的最大射程是10千米。

             （2）∵，∴炮彈可以擊中目標等價于存在，使成立，

                  即關于的方程有正根。

                  由得。

                此時，（不考慮另一根）。

               ∴當不超過6千米時，炮彈可以擊中目標。