Question

祖暅原理也就是“等積原理”，它是由我國南北朝杰出的數學家、祖沖之的兒子祖暅首先提出來的．祖暅原理的內容是：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的平面所截，如果截得兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．可以用詩句“兩個胖子一般高，平行地面刀刀切，刀刀切出等面積，兩人必然同樣胖”形象表示其內涵．利用祖暅原理可以推導幾何體的體積公式，關鍵是要構造一個參照體．試用祖暅原理推導球的體積公式．

Answer 1

分析：由祖暅原理的內容的提示此題可先觀察V_圓錐、V_半球、V_圓柱這三個量（等底等高）之間的不等關系，再構造一個參照體，這樣的參照體我們可以用圓柱內挖去一個圓錐構造出，如圖所示．接下來利用祖暅原理證明猜想．

解答：解：我們先推導半球的體積．為了計算半徑為R的半球的體積，我們先觀察V_圓錐、V_半球、V_圓柱這三個量（等底等高）之間的不等關系，

可以發現V_圓錐＜V_半球＜V_圓柱，即

1

3

πR3＜V_半球＜πR³，根據這一不等關系，我們可以猜測V_半球=

2

3

πR³，并且由猜測可發現V_半球=V_圓柱-V_圓錐．
下面進一步驗證了猜想的可靠性．關鍵是要構造一個參照體，這樣的參照體我們可以用圓柱內挖去一個圓錐構造出，如圖所示．下面利用祖暅原理證明猜想．

證明：用平行于平面α的任意一個平面去截這兩個幾何體，截面分別為圓面和圓環面．
如果截平面與平面α的距離為l，那么圓面半徑r=

R2-l2

，圓環面的大圓半徑為R，小圓半徑為r．
因此S_圓=πr²=π（R²-l²），
S_環=πR²-πl²=π（R²-l²），∴S_圓=S_環．
根據祖暅原理，這兩個幾何體的體積相等，即V_半球=πR2×R-

1

3

πR2×R=

2

3

πR3，
所以V_球=

4

3

πR3．

點評：本題考查祖暅原理、幾何體的體積，考查轉化思想，是基礎題．