Question

【題目】如圖,四邊形中, = == 分別在上, ,現將四邊形沿折起,使.

(1)若,在折疊后的線段上是否存在一點,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,說明理由;

(2)求三棱錐的體積的最大值,并求出此時點到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）點到平面的距離為.

【解析】試題分析：本題考查空間線面關系的判定與證明、體積公式的應用.(1)把平面轉化為線線平行,再利用線線平行的性質即可得出結論,也可以先分析出結論,再進行證明;(2)先根據題意得到= =， 時，體積有最大值，此時可得到=，再利用三棱錐體積公式,利用等體積的方法借助轉換頂點的方法求出三棱錐的高即可.

解析：

(1) 上存在一點,使得平面,

此時.

理由如下:

當時, ,

過點作交于點,連結,

則有==,

∵,可得,

故,

又,

故有,

故四邊形為平行四邊形,

∴,

又∴平面平面,

故有∴平面成立.

(2)設,

∴= = ,

故= =,

∴當時, 有最大值,且最大值為3,

此時=,

在中,由余弦定理得

===,

∴=,

= =,

設點到平面的距離為,

由于,

即=,

∴=,即點到平面的距離為.