Question

【題目】平面內一個整點的有限集稱為一個雙鄰集，如果對內每個點，恰有點、、、中的兩點在內.問對怎樣的正整數，存在一個雙鄰集恰包含個整點?

Answer 1

【答案】和（偶數）.

【解析】

先證明結論：

一個雙鄰集恰包含個整點，則必為偶數.將橫縱坐標中一個相同，另一個相差1的兩整點叫作互為相鄰整點.用線段連結中的相鄰整點.因為中每一整點恰連出兩條線段，因此，雙鄰集內全部整點可用連結相鄰整點的線段組成有限個不自交的閉折線圖形.

在每一閉折線圖形中，每兩個相鄰整點的橫縱坐標之和只相差1，橫縱坐標之和依次為偶數、奇數、偶數、奇數、……，交替出現.由于是閉折線，則任一個閉折線圖形整點個數必為偶數個.

再證：和（偶數）.

當時，2個整點顯然無法構成一個雙鄰集.

當時，由于3個及3個以下的整點無法組

成閉折線圖形，則6個整點要成為一個雙鄰集，6個點組成的閉折線圖形只能是圖5所示的兩圖形之一.

圖中兩圖形顯然都不是雙鄰集.

4個整點、、、恰組成一個雙鄰集（邊長為1的正方形），則.

注意到10個整點、、、、、、、、、也組成一個雙鄰集（長為3寬為2的矩形邊上的10個整點）.

因此，當時，取個4整點組成的雙鄰集，每兩個雙鄰集的距離（一個相鄰集中任一點到另一雙鄰集中任一點距離的最小值）大于1，將這個4整點雙鄰集合并為一個集合，這個集合當然是恰含4個整點的雙鄰集.

當時，由于，取個4整點組成的雙鄰集，取一個10整點組成的雙鄰集，每兩個雙鄰集的距離大于1.將這個4整點雙鄰集與一個10整點雙鄰集合并為一個集合，這個集合當然是恰含個整點的雙鄰集.

因此，和（偶數）.