Question

如圖，已知二次函數的圖像過點和，直線，直線（其中，為常數）；若直線與函數的圖像以及直線與函數以及的圖像所圍成的封閉圖形如陰影所示.
（1）求；
（2）求陰影面積關于的函數的解析式；
（3）若過點可作曲線的三條切線，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

試題分析：（1）根據二次函數的圖像過點和，法一：可以直接將點代入得到，進而求解即可；法二：由二次函數的圖像過點，可設（兩根式），進而再將代入可求出的值，最后寫出函數的解析式即可；（2）先求出直線與函數的圖像的交點坐標，進而根據定積分的幾何意義即可求出；（3）先由條件判斷點不在曲線上，于是設出切點，進而求出切線的斜率，一方面為，另一方面，于是得到等式即，根據題意，關于的方程要有三個不相等的實根，設，轉化為該函數的極大值大于零且極小值小于零，最后根據函數的極值與導數關系進行求解運算即可求出的取值范圍.
(1)二次函數的圖像過點，則，又因為圖像過點
∴                     3分
∴函數的解析式為               4分
(2)由得，
∴直線與的圖像的交點橫坐標分別為，         6分
由定積分的幾何意義知：
         8分
（3）∵曲線方程為，
∴點不在曲線上，設切點為，則，且
所以切線的斜率為，整理得 10分
∵過點可作曲線的三條切線，∴關于方程有三個實根
設，則，由得
∵當時，在在上單調遞增
∵當時，在上單調遞減
∴函數的極值點為          12分
∴關于當成有三個實根的充要條件是
解得，故所求的實數的取值范圍是         14分.