Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=4a_n-p，其中p是不為零的常數。
（1）證明：數列{a_n}是等比數列；
（2）當p=3時，若數列{b_n}滿足b_n+1=b_n+a_n（n∈N*），b₁=2，求數列{b_n}的通項公式。

Answer 1

解：（1）因為S_n=4a_n-p（n∈N*），
則S_n-1=4a_n-1-p（n∈N*，n≥2），
所以當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=4a_n-4a_n-1，
整理得a_n=
由S_n=4a_n-p，令n=1，得a₁=4a₁-p，
解得
所以{a_n}是首項為公比為的等比數列。
（2）因為當p=3時，a₁=1，則
由（n=1，2…），得
當n≥2時，由累加得

當n=1時，上式也成立，
∴。