Question

【題目】數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出：三角形的外心、重心位于同一直線(xiàn)上，這條直線(xiàn)被后人稱(chēng)之為三角形的歐拉線(xiàn)，若的頂點(diǎn)，，且的歐拉線(xiàn)的方程為.

（1）求外心（外接圓圓心）的坐標(biāo)；

（2）求頂點(diǎn)的坐標(biāo).

（注：如果三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，則重心的坐標(biāo)是.）

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）三角形外心是三邊中垂線(xiàn)的交點(diǎn)，由已知條件知頂點(diǎn)，，計(jì)算出邊上的中垂線(xiàn)，結(jié)合三角形的歐拉線(xiàn)，聯(lián)立方程組求出外心坐標(biāo)；

（2）由題意知重心也在歐拉線(xiàn)上，設(shè)出頂點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出重心坐標(biāo)代入歐拉線(xiàn)方程，再結(jié)合（1）中的外心坐標(biāo)，外心到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，得到方程組求出頂點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）三角形外心是三邊中垂線(xiàn)的交點(diǎn)，

由已知條件知頂點(diǎn)，，則中點(diǎn)坐標(biāo)為，，

所以邊上的中垂線(xiàn)方程為，化簡(jiǎn)得，

又因?yàn)槿�角形的外心在歐拉線(xiàn)上，聯(lián)立 ，解得，

所以外心的坐標(biāo)為；

（2）設(shè)，則的重心坐標(biāo)為，

由題意可知重心在歐拉線(xiàn)上，故滿(mǎn)足，化簡(jiǎn)得，

由（1）得外心的坐標(biāo)為，

則，即，

整理得，

聯(lián)立，解得或，

當(dāng)，時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，故舍去，

所以頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.