Question

. （本題滿分12分）若關于的實系數方程有兩個根，一個根在區間內，另一根在區間內，記點對應的區域為．（1）設，求的取值范圍；（2）過點的一束光線，射到軸被反射后經過區域，求反射光線所在直線經過區域內的整點（即橫縱坐標為整數的點）時直線的方程．

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ) ）

解析:

方程的兩根在區間和上的幾何意義是：

函數與軸的兩個交點的橫坐標分別在

區間和內，由此可得不等式組，

即，則在坐標平面內，點對應的區域如圖陰影部分所示，易得圖中三點的坐標分別為，

（1）令，則直線經過點時取得最小值，經過點時取得最大值，即，又三點的值沒有取到，所以；．．

（2）過點的光線經軸反射后的光線必過點，由圖可知可能滿足條件的整點為，再結合不等式知點符合條件，所以此時直線方程為：，即．