Question

證明空間任意無三點共線的四點A、B、C、D共面的充分必要條件是：對于空間任一點O，存在實數x、y、z且x+y+z=1，使得

OA

=x

OB

+y

OC

+z

OD

．

Answer 1

分析：要尋求四點A、B、C、D共面的充要條件，自然想到共面向量定理．用

OB

，

BC

，

BD

表示出

OA

，進而用

OB

，

OC

，

OD

表示

OA

，
三者的系數之和為1即可．

解答：解：（必要性）依題意知，B、C、D三點不共線，
則由共面向量定理的推論知：四點A、B、C、D共面
?對空間任一點O，存在實數x₁、y₁，使得

OA

=

OB

+x₁

BC

+y₁

BD

=

OB

+x₁（

OC

-

OB

）+y₁（

OD

-

OB

）
=（1-x₁-y₁）

OB

+x₁

OC

+y₁

OD

，
取x=1-x₁-y₁、y=x₁、z=y₁，
則有

OA

=x

OB

+y

OC

+z

OD

，且x+y+z=1．
（充分性）對于空間任一點O，存在實數x、y、z且x+y+z=1，使得

OA

=x

OB

+y

OC

+z

OD

．
所以x=1-y-z得

OA

=（1-y-z）

OB

+y

OC

+z

OD

．

OA

=

OB

+y

BC

+z

BD

，即：

BA

=y

BC

+z

BD

，
所以四點A、B、C、D共面．
所以，空間任意無三點共線的四點A、B、C、D共面的充分必要條件是：
對于空間任一點O，存在實數x、y、z且x+y+z=1，使得

OA

=x

OB

+y

OC

+z

OD

．

點評：本題考查共線向量與共面向量定理，考查學生分析問題解決問題的能力，是中檔題．