Question

由空間向量基本定理可知，空間任意向量

p

可由三個不共面的向量

a

，

b

，

c

唯一確定地表示為

p

=x

a

+y

b

+z

c

，則稱（x，y，z）為基底＜

a

，

b

，

c

＞下的廣義坐標．特別地，當＜

a

，

b

，

c

＞為單位正交基底時，（x，y，z）為直角坐標．設

i

，

j

，

k

分別為直角坐標中x，y，z正方向上的單位向量，則空間直角坐標（1，2，3）在基底＜

i

+

j

，

i

-

j

，

k

＞下的廣義坐標為

（

3

2

，-

1

2

，3）

．

Answer 1

分析：欲求空間直角坐標（1，2，3）在基底＜

i

+

j

，

i

-

j

，

k

＞下的廣義坐標，即對于平面向量

i

+2

j

+3

k

，存在唯一的實數對p，q，r，使得

i

+2

j

+3

k

=p(

i

+

j

)+q(

i

-

j

)+r

k

，據此列出關于p，q，r的方程求解即可．

解答：解：根據平面向量基本定理，空間直角坐標（1，2，3）對應的向量為

i

+2

j

+3

k

，
由于

i

+2

j

+3

k

=

3

2

(

i

+

j

)-

1

2

(

i

-

j

)+3

k

，
則空間直角坐標（1，2，3）在基底＜

i

+

j

，

i

-

j

，

k

＞下的廣義坐標為（

3

2

，-

1

2

，3）
故答案為：（

3

2

，-

1

2

，3）．

點評：本題考查平面向量正交分解的應用，考查一個新定義問題，考查學生的理解能力和應變能力，是一個比較好的題目．