Question

如圖，四棱錐F-ABCD的底面ABCD是菱形，其對角線AE、CF都與平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.

（1）求二面角B-AF-D的大小；
（2）求四棱錐E-ABCD與四棱錐F^-ABCD公共部分的體積.

Answer 1

(1)(2).

試題分析：（1）方法一：連接交于菱形的中心，過作，為垂足，連接，根據(jù)定義可知為二面角的平面角，在三角形中求出此角即可；
方法二：設(shè)與交點為，以為坐標原點，分別以所在直線為軸軸建立如圖所示的空間直角坐標系, 設(shè)平面，平面的法向量分別為,利用的公式進行計算.
（2）連接，設(shè)直線與直線相交于點，則四棱錐與四棱錐的公共部分為四棱錐，過作平面，為垂足，然后求出，利用體積公式求解即可．
試題解析：（1）方法一：如圖（1）連結(jié)AC、BD交于菱形的中心O，過O
作OG⊥AF，G為垂足. 連結(jié)BG、DG.
由BD⊥AC，BD⊥CF，得BD⊥平面ACF， 故BD⊥AF. 于是AF⊥平面BGD，
所以BG⊥AF，DG⊥AF，∠BGD為二面角B-AF-D的平面角.        3分

由FC⊥AC，F(xiàn)C=AC=2，得∠FAC，.
由OB⊥OG，OB=OD=，得∠BGD=2∠BGO.
即二面角B-AF-D的大小為.          6分

方法二：設(shè)AC與BD交點為O，以O(shè)為坐標原點，分別以BD 、AC所在直線為x軸
y軸建立如圖所示的空間直角坐標系
則A(0，－1，0)，B(，0，0)，D(，0，0)，F(xiàn)(0，1，2)
，，            2分
設(shè)平面ABF，平面ADF的法向量分別為
設(shè)
由 
令            4分
同理可得  ∴ ∴ 
∴二面角B－AF－D的大小為                   6分
（2）如圖（2）連EB、EC、ED，設(shè)直線AF與直線CE相交于點H，
則四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD的公共部分為四棱錐H-ABCD.
過H作HP⊥平面ABCD，所以平面ACFE⊥平面ABCD，
從而.             7分
由，得.        9分
又因為
故四棱錐的體積.     12分