Question

（2008•寶坻區一模）設直線l：y=x+1與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A、B兩個不同的點，與x軸相交于點F．
（1）證明：a²+b²＞1；
（2）若F是橢圓的一個焦點，且以AB為直徑的圓過原點，求a²．

Answer 1

分析：（1）把直線l的方程與橢圓方程聯立，利用△＞0即可得出；
（2）以AB為直徑的圓過原點?OA⊥OB?x₁x₂+y₁y₂=0，再利用根與系數的關系，即可得出．

解答：解：（1）∵直線l與橢圓相交，聯立方程

y=x+1 b2x2+a2y2=a2b2

∴（a²+b²）x²+2a²x+a²-a²b²=0，

∵△=4a4-4(a2+b2)a2(1-b2)＞0 ∴a2-(a2+b2)(1-b2)＞0

∴b²（a²+b²）＞b²
∴a²+b²＞1，
（2）設F（-c，0），c²=a²-b²依題意c=1，則a²-b²=1，
設交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由（1）知：△＞0得

x1+x2= -2a2 a2+b2 x1x2= a2(1-b2) a2+b2

，
以AB為直徑的圓過原點，則OA⊥OB，從而x₁x₂+y₁y₂=0
即2x₁x₂+（x₁+x₂）+1=0，
把韋達定理式代入

2a2(1-b2)

a2+b2

-

2a2

a2+b2

=-1
因a2＞1解得：a2=1+

2

2

．

點評：直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到△＞0及其根與系數的關系、向量垂直與數量積的關系、圓的性質等是解題的關鍵．