Question

（2010•廣東模擬）已知函數(shù)f(x)=4x+ax2-

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3

x3(x∈R)．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值組成的集合A；
（3）設關(guān)于x的方程f(x)=2x+

1

3

x3的兩個非零實根為x₁，x₂，試問是否存在實數(shù)m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將a=1代入f（x），求出f（x）的導函數(shù)，令導函數(shù)大于0求出x的范圍即為單調(diào)遞增區(qū)間，令導函數(shù)小于0得到的x的范圍即為單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）求出導函數(shù)，令導函數(shù)大于等于0在[-1，1]上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的圖象寫出限制條件，求出a的范圍．
（3）列出方程，轉(zhuǎn)化為二次方程的根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到|x₁-x₂|_max，然后利用二次函數(shù)的圖象列出要使不等式恒成立的限制條件，求出m的范圍．

解答：解：（1）f(x)=4x+x2-

2

3

x3，
f'（x）=4+2x-2x²=-2（x²-x-2）=-2（x+1）（x-2），
由f'（x）＞0⇒-1＜x＜2，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-1，2）．
由f'（x）＜0⇒x＜-1，x＞2，
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-1），（2，+∞）．…（4分）
（2）f'（x）=4+2ax-2x²，
因f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞增，
所以f'（x）≥0恒成立．…（6分）
⇒

f′(-1)≥0 f′(1)≥0

⇒-1≤a≤1．
A=[-1，1]…（9分）．
（3）f(x)=2x+

1

3

x3⇒4x+ax2-

2

3

x3=2x+

1

3

x3，
2x+ax²-x³=0⇒x（x²-ax-2）=0
∴

x1+x2=a x1x2=-2

⇒|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

a2+8

，
∴|x₁-x₂|_max=3，…（11分）
⇒只需m²+tm+1≥3對t∈[-1，1]恒成立，
令g（t）=m²+tm-2，
即g（t）=m²+tm-2≥0，對t∈[-1，1]恒成立，…（13分）
⇒

g(-1)≥0 g(1)≥0

⇒m≤-2或m≥2
所以存在m∈（-∞，-2]∪[2，+∞）…（14分）

點評：本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及函數(shù)的單調(diào)性知道求參數(shù)的范圍；考查結(jié)合二次函數(shù)的圖象解決二次不等式恒成立問題．