Question

（2013•濟寧一模）如圖，已知半橢圓C₁：

x2

a2

+y²=1（a＞1，x≥0）的離心率為

2

2

，曲線C₂是以半橢圓C₁的短軸為直徑的圓在y軸右側的部分，點P（x₀，y₀）是曲線C₂上的任意一點，過點P且與曲線C₂相切的直線l與半橢圓C₁交于不同點A，B．
（I）求a的值及直線l的方程（用x₀，y₀表示）；
（Ⅱ）△OAB的面積是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）利用離心率計算公式e=

c

a

=

1- b2 a2

及已知即可得出a．設Q（x，y）為直線l上任意一點，利用圓的切線的性質可得

OP

⊥

PQ

，即

OP

•

PQ

=0．進而即可求出．
（II）分切點P為（1，0）和不為（1，0）時兩種情況討論．把切線l的方程與橢圓方程聯立得到根與系數的關系，利用弦長公式、基本不等式的性質、三角形的面積計算公式即可得出．

解答：解：（I）∵半橢圓C₁的離心率為

2

2

，∴e=

c

a

=

1- a2-1 a2

=

2

2

，
∴a=

2

．
設Q（x，y）為直線l上任意一點，則

OP

⊥

PQ

，即

OP

•

PQ

=0．
∴（x₀，y₀）•（x-x₀，y-y₀）=0，化為x0x+y0y=

x

2 0

+

y

2 0

．
又∵

x

2 0

+

y

2 0

=1，∴直線l的方程為x₀x+y₀y-1=0．
（II）①當P點不為（1，0）時，

x0x+y0y-1=0 x2+2y2=2

，
得(2

x

2 0

+

y

2 0

)x2-4x0x+2-2

y

2 0

=0，即(

x

2 0

+1)x2-4x0x+2

x

2 0

=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴

x1+x2= 4x0 x 2 0 +1 x1x2= 2 x 2 0 x 2 0 +1

∵|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

8 x 2 0 (1- x 2 0 ) (1- x 2 0 )( x 2 0 +1)2

=

8 x 2 0 x 4 0 +2 x 2 0 +1

=

8 x 2 0 + 1 x 2 0 +2

＜

8 2 x 2 0 • 1 x 2 0 +2

=

2

∴S_△OAB=|AB||OP|=

1

2

|AB|＜

2

2

．
②當P點為（1，0）時，此時，S△OAB=

2

2

．
綜上，由①②可得，△OAB面積的最大值為

2

2

．

點評：本題考查了橢圓及圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題、根與系數的關系、基本不等式的性質、三角形的面積向量垂直于數量積得關系等基礎知識與基本技能，考查了推理能力和計算能力．