Question

如圖，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，左右頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為B，拋物線分別以A,B為焦點(diǎn)，其頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O，與相交于 直線上一點(diǎn)P．
（1）求橢圓C及拋物線的方程；
（2）若動(dòng)直線與直線OP垂直，且與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N，已知點(diǎn)，求的最小值。

Answer 1

（1）橢圓C:，拋物線C₁：拋物線C₂：；（2）．

解析試題分析：(1)由題意可得A（a，0），B（0，），而拋物線C₁，C₂分別是以A、B為焦點(diǎn)，∴可求得C₂的解析式：，設(shè)C₁的解析式為，再由C₁與C₂的交點(diǎn)在直線y=x上，；(2)直線OP的斜率為，所以直線的斜率為，設(shè)直線方程為，
設(shè)M（）、N（），將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用解析幾何中處理直線與圓錐曲線中常用的“設(shè)而不求”思想，可以得到,結(jié)合韋達(dá)定理，即可得到的最值．
（1）由題意可得A（a，0），B（0，），故拋物線C₁的方程可設(shè)為，C₂的方程為    1分
由  得    3分
∴橢圓C:，拋物線C₁：拋物線C₂： 5分；                              （2）由（1）知，直線OP的斜率為，所以直線的斜率為，設(shè)直線方程為
由，整理得
設(shè)M（）、N（），則    7分
因?yàn)閯?dòng)直線與橢圓C交于不同兩點(diǎn)，所以
解得    8分
，
∵，
∴  11分
∵，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，
其最小值等于    13分
考點(diǎn)：1、圓錐曲線解析式的求解；2、直線與橢圓相交綜合題．