Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中：①AD₁與A₁C₁所成的角為60°；②AB₁與平面A₁B₁CD所成的角為30°；③A₁C與平面A₁B₁CD所成的角為90°； ④二面角B₁-AC-D₁的大小是60°；以上結論中正確的是

①、②、③

．

Answer 1

分析：①連接A1B，由題意可得AD₁與A₁C₁所成的角與BC₁與A₁C₁所成的角相等，再利用解三角形的有關知識求出答案即可．
②取AD₁的中點為好，連接B₁H．由正方體的結構特征可得：AD₁⊥平面A₁B₁CD于點H，可得∠AB₁H為直線AB₁與平面A₁B₁CD所成的角，再放入三角形中求出答案即可．
③因為A₁C?平面A₁B₁CD，所以A₁C與平面A₁B₁CD所成的角為0°．
④取AC的中點為G，可得D₁G⊥AC并且B₁G⊥AC，所以∠B₁GD₁是二面角B₁-AC-D₁的平面角，再根據三角形的性質可得④錯誤．

解答：解：①連接A1B，由題意可得：AD₁∥BC₁，所以AD₁與A₁C₁所成的角與BC₁與A₁C₁所成的角相等，因為在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，A1B=BC₁=A₁C₁，所以∠BC₁A₁=60°，所以AD₁與A₁C₁所成的角為60°，所以①正確．
②取AD₁的中點為好，連接B₁H．由正方體的結構特征可得：AD₁⊥平面A₁B₁CD于點H，∴直線B₁H是直線AB₁在平面A₁B₁CD上的射影．∴∠AB₁H為直線AB₁與平面A₁B₁CD所成的角．又∵AB₁=2AH，∴sin∠AB1H=

AH

AB1

=

1

2

∴∠AB₁H=30°．所以②正確．
③因為A₁C?平面A₁B₁CD，所以A₁C與平面A₁B₁CD所成的角為0°，所以③錯誤．
④取AC的中點為G，在△D₁AC中，D₁A=D₁C，所以D₁G⊥AC；同理可得B₁G⊥AC，所以∠B₁GD₁是二面角B₁-AC-D₁的平面角，連接B₁D₁，在△B₁GD₁中，B₁G=D₁G≠B₁D₁，所以二面角B₁-AC-D₁的大小不是60°，所以④錯誤．
故答案為：①②．

點評：本題主要考查空間角的求解，求線線角、線面角與面面角的關鍵是找到角，再證明此角為所求角，然后把空間角轉化為平面角利用解三角形的有關知識進行求解，屬于中檔題型．