Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的極值；

（2）若不等式恒成立，求的最小值（其中e為自然對數的底數）.

Answer 1

【答案】（1）當時，無極值；當時，極大值為，無極小值

（2）-1

【解析】

（1）求出導函數，確定函數單調性，得極值，需分類討論．

（2）恒成立，設，求出的最大值，由得出滿足的不等關系，然后得，求得的最小值即得結論．

（1）解，

當時，恒成立，函數在上單調遞增，無極值.

當時，由，得，函數在上單調遞增，由，得，

函數在上單調遞減，極大值為，無極小值.

綜上所述，當時，無極值；

當時，極大值為，無極小值.

（2）由可得，

設，所以，，

當時，，在上是增函數，所以不可能恒成立，

當時，由，得，

當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，

所以當時，取最大值，，

所以，即，所以，

令，，

當時，，單調遞增，

當時，，單調遞減，

所以當時，取最小值，即，所以的最小值為-1.