Question

已知函數f(x)=

x-1

x+2

（1）判斷函數f（x）在區間（-2，+∞）上的單調性，并利用單調性的定義證明；
（2）函數g（x）=log₂f（x），x∈[-5，-3]的值域為A，且C_RB={x|x＞2a-1或x＜a}（a為常數），若A∩B=B，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f(x)=

x-1

x+2

=1-

3

x+2

，利用函數單調性的定義即可判斷；
（2）由（1）可得f（x）在[-5，-3]上的單調性，進而得g（x）的單調性，由單調性可求A，由C_RB可求B，因為A∩B=B，所以B⊆A，分B=∅，B≠∅兩種情況討論即可．

解答：（1）f（x）在區間（-2，+∞）上為增函數．
f(x)=

x-1

x+2

=1-

3

x+2

，
任取x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=(1-

3

x1+2

)-(1-

3

x2+2

)=

3

x2+2

-

3

x1+2

=

3(x1-x2)

(x1+2)•(x2+2)

，
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，又x₁，x₂∈（-2，+∞），∴x₁+2＞0，x₂+2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在區間（-2，+∞）上為增函數．
（2）∵f（x）在區間（-2，+∞）上為增函數．
∴f（x）在區間[-5，-3]上為增函數．
∵g（x）=log₂f（x），∴g（x）在區間[-5，-3]上為增函數，
∴g（-5）≤g（x）≤g（-3），即1≤g（x）≤2，∴A=[1，2]，
∵C_RB={x|x＞2a-1或x＜a}，∴B={x|a≤x≤2a-1}，
①若B=?，則a＞2a-1，解得a＜1；
②若B≠?時，

2a-1≥a a≥1 2a-1≤2

⇒1≤a≤

3

2

，
綜上所述：a∈(-∞，

3

2

]．

點評：本題考查函數單調性的判斷、函數值域的求解及集合運算，考查分類討論思想，考查學生分析解決問題的能力．