Question

（重點(diǎn)中學(xué)學(xué)生做）某校欲在一塊長、短半軸長分別為10米與8米的橢圓形土地中規(guī)劃一個矩形區(qū)域搞綠化，則在此橢圓形土地中可綠化的最大面積為（　　）平方米．

• A．80
• B．160
• C．320
• D．160

  2

Answer 1

分析：先以長軸為x軸，長軸的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．依題意可知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)矩形第一象限的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入橢圓方程，進(jìn)而根據(jù)均值不等式求得mn的范圍，進(jìn)而根據(jù)矩形對稱性知面積為S=4mn求得答案．

解答：解：以長軸為x軸，長軸的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．依題意可知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

100

+

y2

64

=1
不妨設(shè)P（m，n）為矩形第一象限的頂點(diǎn)，則

m2

100

+

n2

64

=1
由矩形對稱性知面積為S=4mn，1=

m2

100

+

n2

64

≥2•

mn

10×8

∴mn≤40，
∴S≤4×40=160．
則在此橢圓形土地中可綠化的最大面積為160平方米．
故選B．

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓在實(shí)際中的應(yīng)用．考查了學(xué)生對圓錐曲線問題的綜合運(yùn)用．