Question

P是雙曲線

x2

4

-

y2

12

=1右支上一點，F是雙曲線的右焦點，O為坐標原點，若

OM

=

1

2

（

OP

+

OF

），且|

OM

|=4，則點P到雙曲線右準線的距離是

 

．

Answer 1

分析：根據a²-b²=c²求出左焦點F的坐標，根據雙曲線的準線公式x=

a2

c

求出右準線方程，然后設P的坐標（x，y），代入到雙曲線方程，由

OM

=

1

2

（

OP

+

OF

）得到M為PF的中點，根據中點坐標公式求出M的坐標，利用兩點間的距離公式求出 |

OM

|，最后聯立方程得到x，根據兩點間的距離公式求出P到準線方程的距離即可．

解答：解：由雙曲線

x2

4

-

y2

12

=1得a=2，b=2

3

，
根據勾股定理得c=4，則右準線為 x=1，右焦點F（4，0），
設P（x，y），P在雙曲線上，
∴

x2

4

-

y2

12

=1①
由點M滿足

OM

=

1

2

（

OP

+

OF

），則得M為PF中點，
根據中點坐標公式求得M（

x+4

2

，

y

2

），
且|

OM

|=4
∴

(4+x)2

4

+

y2

4

=16②
由①②解得：x=3．
右準線為 x=1，則點P到雙曲線右準線的距離是 3-1=2．
故答案為2．

點評：本題是一道綜合題，考查學生掌握雙曲線的一些簡單性質，會利用兩點間的距離公式及中點坐標公式、點到直線的距離公式化簡求值，同時也考查學生掌握向量的運用法則及向量模的求法，做題時要求學生知識面要寬，綜合運用數學知識解決問題．