Question

【題目】如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E為BC中點．
（1）求證：C1D⊥D1E；
（2）若二面角B1﹣AE﹣D1的大小為90°，求AD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：以D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系D﹣xyz，

設AD=a，則D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，1，0），C（0，1，0），

B1（a，1，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），E（ ，1，0），

∴ =（0，﹣1，﹣1）， =（ ，1，﹣1），

則 =0，

∴C1D⊥D1E．

（2）解：設平面AD1E的法向量為 =（x，y，z），

=（﹣ ，1，0）， =（﹣a，0，1），

則 ，取x=2，得平面AD1E的一個法向量為 =（2，a，2a），

設平面B1AE的法向量為 =（x′，y′，z′），

=（﹣ ，1，0）， =（0，1，1），

則 ，取x′=2，得 =（2，a，﹣a）．

∵二面角B1AED1的大小為90°，

∴ ⊥ ，∴ =4+a2﹣2a2=0，

∵a＞0，∴a=2，即AD=2

【解析】（1）以D為原點，建立空間直角坐標系D﹣xyz，利用向量法能證明C1D⊥D1E．（2）求出平面AD1E的法向量和平面B1AE的法向量，由二面角B1AED1的大小為90°，能求出AD的長．
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識點，需要掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點才能正確解答此題．