Question

如圖，矩形，滿足在上，在上，且∥∥，，，，沿、將矩形折起成為一個直三棱柱，使與、與重合后分別記為，在直三棱柱中，點分別為和的中點．

(I)證明：∥平面；

(Ⅱ)若二面角為直二面角，求的值．

 

Answer 1

【答案】

詳見解析；.

【解析】

試題分析：連結DB₁ 、DC₁，由是的中位線來證明線面平行.由條件可知∠BDC = 90°.再建系求出各點坐標，求面的法向量，面的法向量，由二面角為直二面角得，從而解得.

試題解析：（Ⅰ）證：連結DB₁ 、DC₁  ∵四邊形DBB₁D₁為矩形，M為D₁B的中點   2分

∴M是DB₁與D₁B的交點，且M為DB₁的中點

∴MN∥DC₁，∴MN∥平面DD₁C₁C                               4分

（Ⅱ）解：四邊形為矩形，B.C在A₁A₂上，B₁.C₁在上，

且BB₁∥CC₁∥，A₁B = CA₂ = 2，，

∴∠BDC = 90°                                             6分

以DB、DC、DD₁所在直線分別為x.y.z軸建立直角坐標系，則

D(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D₁(0，0，)，B₁(2，0，)，C₁(0，2，)

點M、N分別為D₁B和B₁C₁的中點，∴

設平面D₁MN的法向量為m = (x，y，z)，則

，

令x = 1得：

即                                              8分

設平面MNC的法向量為n = (x，y，z)，則

，令z = 1得：

即                                          10分

∵二面角D₁－MN－C為直二面角    ∴m⊥n，故，解得：

∴二面角D₁－MN－C為直二面角時，．          12分

考點：1.點、線、面的位置關系；2.空間向量的應用；3.二面角.