Question

（本小題滿分12分）

已知函數的圖象過坐標原點O,且在點處的切線的斜率是.

（Ⅰ）求實數的值；  （Ⅱ）求在區間上的最大值；

(Ⅲ)對任意給定的正實數，曲線上是否存在兩點P、Q，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？說明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）當時，，則。

依題意得：，即    解得 ………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

①當時，，

令得

當變化時，的變化情況如下表：

		0
	—	0	+	0	—
	單調遞減	極小值	單調遞增	極大值	單調遞減

又，，。∴在上的最大值為2.

②當時, .當時, ,最大值為0；

當時, 在上單調遞增。∴在最大值為。

綜上，當時，即時，在區間上的最大值為2；

當時，即時，在區間上的最大值為。……8分

(Ⅲ)假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在軸兩側。

不妨設，則，顯然

_∵是以O為直角頂點的直角三角形，∴

即    （*）

若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q.

若，則代入（*）式得：

即，而此方程無解，因此。此時，

代入（*）式得：    即   （**）

令 ，則

∴在上單調遞增，  ∵     ∴,∴的取值范圍是。

∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。

因此，對任意給定的正實數，曲線上存在兩點P、Q，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上。……………12分