Question

【題目】已知橢圓C1:(a>b>0)的離心率為,x軸被曲線C2:y=x2-b截得的線段長度等于C1的短軸長.已知C2與y軸的交點為M,過坐標原點O的直線l與C2相交于點A,B,直線MA,MB分別與C1相交于點D,E.

(1)求C1,C2的方程;

(2)求證:MA⊥MB;

(3)記△MAB,△MDE的面積分別為S1,S2,若,求λ的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）根據:的離心率為,軸被曲線截得的線段長度等于的短軸長，結合性質 ，列出關于 、 、的方程組，求出 、 、，即可得結果；（2）設，直線與拋物線聯立，利用平面向量的數量積公式結合韋達定理可得，從而可得結果；(3)設

分別與拋物線方程聯立求出坐標，分別與橢圓方程聯立求出，結合三角形面積公式可將用表示，利用基本不等式可得結果.

(1)由題意知,=,所以a2=2b2.又2=2b,得b=1,

所以曲線C2的方程為y=x2-1,橢圓C1的方程為+y=1.

(2)證明:設直線AB:y=kx,A(x1,y1),B(x2,y2).

由題意知,M(0,-1),由得x2-kx-1=0,

所以·=(x1,y1+1)·(x2,y2+1)=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1=-(1+k2)+k2+1=0,所以MA⊥MB.

(3)設直線MA:y=k1x-1,直線MB:y=k2x-1,

則k1k2=-1,且M(0,-1).

由解得或所以A(k1,-1).同理可得B(k2,-1),

故S1=|MA|·|MB|=··|k1|·|k2|.由解得或所以D.同理可得,E,

故S2=|MD|·|ME|=··.

故=λ==≥,

當且僅當k1=±1時等號成立,

故λ的取值范圍是.