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是否存在數列{a_n},使對于任意正整數n,等式

恒成立？若存在,求出a_n,并加以證明；若不存在,請說明理由.

思路解析:本題看似復雜,注意到等式的左邊各項的結構相似,可以將等式左邊的和看成是一個數列的前n項和,這樣一來問題實際就轉化為已知一個數列的前n項和而要求其通項的問題.

解:假設存在滿足題意的數列{a_n},記T_n=,

則=T_n-T_n-1=(n≥2),

a_n=2n+1(n≥2),又由已知得,a₁=3=2×1+1,故存在滿足題意的數列,其中a_n=2n+1.

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收集本地區教育儲蓄信息，有一公民的儲蓄方式為：第一年末存入a₁元，以后每年末存入的數目均比上一年增加d（d＞0）元，因此，歷年所存入的教育儲蓄金數目a₁，a₂，…是一個公差為d的等差數列，與此同時，政府給予優惠的計息政策，不僅采用固定利率，而且計算復利，也不征利息稅．這就是說，如果固定年利率為p（p＞0），那么，在第n年末，第一年所存入的儲蓄金就變為a₁（1+p）^n-1，第二年所存入的儲蓄金就變為a₂（1+p）^n-2，…，以W_n表示到第n年末所累計的儲蓄金總額．
（1）寫出W_n與W_n-1（n≥2）的遞推關系式；
（2）是否存在數列{A_n}，{B_n}使W_n=A_n+B_n，其中{A_n}是一個等比數列，{B_n}是一個等差數列，說明你的理由．

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．
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（2）是否存在數列{a_n}的一個無窮等比子數列，使得它各項的和為

？若存在，求出滿足條件的子數列的通項公式；若不存在，請說明理由；
（3）試設計一個數學問題，研究：是否存在數列{a_n}的兩個不同的無窮等比子數列，使得其各項和之間滿足某種關系．請寫出你的問題以及問題的研究過程和研究結論．

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