Question

【題目】已知數(shù)列的前項和為，其中為常數(shù)．

（1）證明： ；

（2）是否存在，使得為等差數(shù)列？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（I）對于含遞推式的處理，往往可轉換為關于項的遞推式或關于的遞推式．結合結論，該題需要轉換為項的遞推式．故由得．兩式相減得結論；（II）對于存在性問題，可先探求參數(shù)的值再證明．本題由， ， ，列方程得，從而求出．得，故數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為公差為4的等差數(shù)列．分別求通項公式，進而求數(shù)列的通項公式，再證明等差數(shù)列．

試題解析：（I）由題設， ， ．兩式相減得， ．

由于，所以．

（II）由題設， ， ，可得，由（I）知， ．令，解得．

故，由此可得， 是首項為1，公差為4的等差數(shù)列， ；

是首項為3，公差為4的等差數(shù)列， ．

所以， ．

因此存在，使得為等差數(shù)列．