Question

已知f（x）=2cos²x+asin2x+b-1（a＞0）的最大值比最小值大4．
（1）求a的值；
（2）當x∈[0，

π

2

]時，|f（x）|≤3恒成立，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用降冪公式、輔助角公式將f（x）化為f（x）=

a2+1

sin（2x+φ）+b，由題意可求a的值；
（2）由（1）知f（x）=2sin（2+

π

6

）+b，由x∈[0，

π

2

]可得2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，從而可得f（x）∈[b-1，b+2]，結合可得|f（x）|≤3恒成立，可求實數b的取值范范．

解答：解：（1）f（x）=cos2x+asin2x+b=

a2+1

sin（2x+φ）+b，
∴2

a2+1

=4，又a＞0，
∴a=

3

．
（2）由（1）知f（x）=2cos²x+

3

sin2x+b-1
=cos2x+

3

sin2x+b
=2sin（2+

π

6

）+b，
當x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（2+

π

6

）≤1，-1≤2sin（2+

π

6

）≤2，
∴f（x）∈[b-1，b+2]，
∴-3≤b-1且b+2≤3，得-2≤b≤1．

點評：本題考查三角函數的最值，將f（x）化為f（x）=2sin（2+

π

6

）+b是關鍵，考查降冪公式、輔助角公式的應用，考查正弦函數的性質，考查分析與運算能力，屬于中檔題．