Question

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，

OA

+

OB

與

a

=(3，-1)共線，則該橢圓的離心率為（　　）

• A、

  5

  3

• B、

  3

  2

• C、

  6

  3

• D、

  2 2

  3

Answer 1

分析：直線與橢圓方程聯(lián)立用未達定理的A、B兩點坐標(biāo)的關(guān)系，據(jù)向量共線的條件得橢圓中a，b，c的關(guān)系，從而求得橢圓的離心率．

解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，則直線AB的方程為y=x-c，代入橢圓方程的

x2

a2

+

y2

b2

=1，
化簡得（a²+b²）x²-2a²cx+a²c²-a²b²=0．
令A(yù)（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

2a2c

a2+b2

，x₁x₂=

a2c2-a2b2

a2+b2

，
∵

OA

+

OB

=（x₁+x₂，y₁+y₂），與

a

=(3，-1)共線，
∴3（y₁+y₂）+（x₁+x₂）=0，又y₁=x₁-c，y₂=x₂-c，
∴3（x₁+x₂-2c）+（x₁+x₂）=0，
∴x₁+x₂=

3

2

c，
∴

2a2c

a2+b2

=

3

2

c
∴a²=3b²．
∴c=

a2-b2

=

6

3

a，
故離心率e=

c

a

=

6

3

．

點評：考查向量共線為圓錐曲線提供已知條件；處理直線與圓錐曲線位置關(guān)系常用的方法是直線與圓錐曲線方程聯(lián)立用韋達定理．