Question

（本小題滿分13分）已知圓G：x²+y²—2x—，經過橢圓（a＞b＞0）的右焦點F及上頂點B，過橢圓外一點M（m,0）(m＞0)的傾斜角為的直線l交橢圓于C、D兩點.

（Ⅰ）求橢圓方程
（Ⅱ）當右焦點在以線段CD為直徑的圓E的內部，求實數m的范圍

Answer 1

（Ⅰ）橢圓方程為；（Ⅱ）實數m的取值范圍為（，3）。

本試題主要是考查了橢圓的方程的求解，以及圓與橢圓的位置關系的運用。
（1）因為圓G經過點F、B　　∴F（2，0），B（0，）
∴橢圓的焦半徑c＝2，短半軸長b＝　　　∴a²＝b²＋o²＝6
得到橢圓的方程。
（2）設直線l的方程為y＝－　（m＞）
然后直線與橢圓方程聯立，借助于韋達定理和向量的數量積得到實數m的范圍。
（Ⅰ）∵圓G經過點F、B　　∴F（2，0），B（0，）
∴橢圓的焦半徑c＝2，短半軸長b＝　　　∴a²＝b²＋o²＝6
故橢圓方程為…………………………4分
（Ⅱ）設直線l的方程為y＝－　（m＞）
由  2x²－2mx＋(m²－6)＝0
由△＝4m²－8（m²－6）＞0　　m²＜12  
∴－2＜m＜2………………………………………6分
又m＞     ∴＜m＜2……………………………………7分
設C(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)，則x₁＋x₂＝m，x₁x₂＝
∴y₁·y₂＝［－］［－］＝
∵　　
＝（x₁－2）（x₂－2）＋y₁y₂
＝x₁x₂－＋＋4
＝……………………………………10分
∵點F在圓E內部    ∴＜0
即＜0  0＜m＜3
又∵＜m＜2
∴實數m的取值范圍為（，3）………………………………13分