Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx滿足條件：①f（0）=f（1）；②f（x）的最小值為-

1

8

．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)積為T(mén)_n，且Tn=(

4

5

)f(n)，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）在（2）的條件下，求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)的和．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件①f（0）=f（1）與②f（x）的最小值為-

1

8

，建立a、b的兩個(gè)等量關(guān)系，解之即可得．
（2）前n項(xiàng)積為T(mén)_n，則前n-1項(xiàng)積為T(mén)_n-1，所以an=

Tn

Tn-1

，驗(yàn)證首項(xiàng)即可．
（3）數(shù)列{na_n}的通項(xiàng)是由等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，這一類一般利用錯(cuò)位相消的方法進(jìn)行求和．

解答：解：（1）由題知：

a+b=0 a＞0 - b2 4a =- 1 8

，解得

a= 1 2 b=- 1 2

，
故f(x)=

1

2

x2-

1

2

x（4分）
（2）Tn=a1a2an=(

4

5

)

n2-n

2

，（5分）
Tn-1=a1a2an-1=(

4

5

)

(n-1)2-(n-1)

2

(n≥2)（7分）
∴an=

Tn

Tn-1

=(

4

5

)n-1(n≥2)，（9分）
又a₁=T₁=1滿足上式．所以an=(

4

5

)n-1(n∈N*)（10分）
（3）解：Tn=(

4

5

)0+2(

4

5

)1+3(

4

5

)2++n(

4

5

)n-1，

4

5

Tn=

4

5

+2(

4

5

)2++(n-1)(

4

5

)n-1+n(

4

5

)n（11分）

1

5

Tn=1+

4

5

+(

4

5

)2++(

4

5

)n-1-n(

4

5

)n，（13分）

1

5

Tn=

1-( 4 5 )n

1- 4 5

-n(

4

5

)n，Tn=25-(25+n)(

4

5

)n，（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的解析式的求解，以及數(shù)列的遞推關(guān)系，數(shù)列的求和問(wèn)題，屬于中檔題，同時(shí)也考查了學(xué)生的計(jì)算能力．