Question

【題目】已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．

（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；

（Ⅲ）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.

【解析】

(Ⅰ)由題意分別求得數(shù)列的公差、公比，然后利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到結(jié)果；

(Ⅱ)利用(Ⅰ)的結(jié)論首先求得數(shù)列前n項(xiàng)和，然后利用作差法證明即可；

(Ⅲ)分類討論n為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后分別利用指數(shù)型裂項(xiàng)求和和錯(cuò)位相減求和計(jì)算和的值，據(jù)此進(jìn)一步計(jì)算數(shù)列的前2n項(xiàng)和即可.

(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為q.

由，，可得d=1.

從而的通項(xiàng)公式為.

由，

又q≠0，可得，解得q=2，

從而的通項(xiàng)公式為.

(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得，

故，，

從而，

所以.

(Ⅲ)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，

對(duì)任意的正整數(shù)n，有，

和 ①

由①得 ②

由①②得，

由于，

從而得：.

因此，.

所以，數(shù)列的前2n項(xiàng)和為.