Question

如圖，已知曲線C：y=

1

x

在點P（1，1）處的切線與x軸交于點Q₁，過點Q₁作x軸的垂線交曲線C于點P₁，曲線C在點P₁處的切線與x軸交于點Q₂，過點Q₂作x軸的垂線交曲線C于點P₂，…，依次得到一系列點P₁、P₂、…、P_n，設(shè)點P_n的坐標為（x_n，y_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{x_n}的通項公式；
（Ⅱ）求三角形OP_nP_n+1的面積S△OPnPn+1
（Ⅲ）設(shè)直線OP_n的斜率為k_n，求數(shù)列{nk_n}的前n項和S_n，并證明Sn＜

4

9

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過求導即可得到切線的斜率，進而得到切線的方程，即可得到x_n+1與x_n的關(guān)系，利用等比數(shù)列的通項公式即可求出．
（Ⅱ）利用三角形的面積公式、梯形的面積公式及（Ⅰ）的結(jié)論即可得出；
（Ⅲ）利用（Ⅰ）的結(jié)論即可求出nk_n，再利用“錯位相減法”即可求出S_n，進而證明結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）∵y′=-

1

x2

，∴f^′（1）=-1，
∴曲線C：y=

1

x

在點P（1，1）處的切線為y-1=-（x-1），
令y=0，則x=2，∴Q₁（2，0），∴P1(2，

1

2

)，∴x₁=2．
則過點Pn(xn，

1

xn

)的切線斜率為-

1

x 2 n

，其方程為y-

1

xn

=-

1

x 2 n

(x-xn)，
令y=0，得到x=2x_n，∴Q_n+1（2x_n，0），即x_n+1=2x_n，∴

xn+1

xn

=2．
∴數(shù)列{x_n}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴xn=2×2n-1=2n．
（Ⅱ）∵S△OPnPn+1=S△OPnQn+S梯形PnPn+1Qn+1Qn-S△OPn+1Qn+1
=

1

2

xnyn+

yn+yn+1

2

(xn+1-xn)-

1

2

xn+1yn+1
=

1

2

(

1

xn

+

1

xn+1

)(xn+1-xn)=

1

2

(

1

2n

+

1

2n+1

)(2n+1-2n)=

3

4

．
（Ⅲ）證明：由（1）可知：k_n=

yn

xn

=

1

x 2 n

=

1

(2n)2

=

1

4n

，∴nk_n=

n

4n

．
∴S_n=

1

41

+

2

42

+

3

43

+…+

n-1

4n-1

+

n

4n

，
4S_n=1+

2

41

+

3

42

+…+

n

4n-1

，
兩式相減得3S_n═1+

1

4

+

1

42

+…+

1

4n-1

-

n

4n

=

1- 1 4n

1- 1 4

-

n

4n

，
∴S_n=

4

9

-

1

9×4n-1

-

n

3×4n

＜

4

9

．
故Sn＜

4

9

成立．

點評：熟練掌握導數(shù)的幾何意義、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”是解題的關(guān)鍵．