Question

【題目】已知拋物線G的頂點在原點，焦點在y軸正半軸上，點P（m，4）到其準線的距離等于5．

（1）求拋物線G的方程；

（2）如圖，過拋物線G的焦點的直線依次與拋物線G及圓x2+（y﹣1）2＝1交于A、C、D、B四點，試證明|AC||BD|為定值；

（3）過A、B分別作拋物G的切線l1，l2且l1，l2交于點M，試求△ACM與△BDM面積之和的最小值．

Answer 1

【答案】（1）x2＝4y；（2）詳見解析；（3）2.

【解析】

（1）利用拋物線的焦半徑公式求P；（2）設直線AB方y＝kx+1，與拋物線聯立消去，結合焦半徑公式化簡從而得到定值；（3）欲求面積之和的最小值，利用直線AB的斜率作為自變量，建立函數模型，轉化成求函數的最值問題．

（1）由題知，拋物線的準線方程為y+1＝0，故1

所以拋物線C的方程為x2＝4y．

（2）當直線AB的斜率不存在時，直線與拋物線只有一個交點，

故直線AB的斜率一定存在，

設直線AB方y＝kx+1交拋物線C于點A（x1，y1），B（x2，y2），

由拋物線定義知|AF|＝y1+1，|BF|＝y2+1，

所以|AC|＝y1，|BD|＝y2，

由得x2﹣4kx﹣4＝0，

顯然△＞0，則x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，

所以y1y21，所以|AC||BD|為定值1．

（3）由x2＝4y，yx2， x，

得直線AM方程yx1（x﹣x1）（1），

直線BM方程yx2（x﹣x2）（2），

由（2）﹣（1）得（x1﹣x2）x，

所以x（x1+x2）＝2k，∴y＝﹣1

所以點M坐標為（2k，﹣1），

點M到直線AB距離d2，

弦AB長為|AB|4（1+k2），

△ACM與△BDM面積之和，

S（|AB|﹣2）d（2+4k2）×22（1+2k2），

當k＝0時，即AB方程為y＝1時，△ACM與△BDM面積之和最小值為2．