Question

【題目】數(shù)列為遞增的等比數(shù)列, ，

數(shù)列滿足．

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求證： 是等差數(shù)列；

（Ⅲ）設(shè)數(shù)列滿足，且數(shù)列的前項(xiàng)和，并求使得對任意都成立的正整數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2） 是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列． （3）4

【解析】試題分析：（1）根據(jù){an}為遞增的等比數(shù)列且a32=a1a5，得到a1=1，a3=4，a5=16，進(jìn)而求得an，bn的通項(xiàng)公式；（2）利用等差數(shù)列定義加以證明;（3）利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，再用分離參數(shù)法和單調(diào)性求m的最小值．

試題解析：

（1）數(shù)列為遞增的等比數(shù)列，則其公比為正數(shù)，又，當(dāng)且僅當(dāng)時成立。此時公比 所以．

（2） 因?yàn)?，所以，即．

所以是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列．

（3），所以．

，

，n∈N*，即數(shù)列{Tn}是遞增數(shù)列．∴當(dāng)n=1時，Tn取得最小值，

要使得對任意n∈N*都成立，結(jié)合（Ⅰ）的結(jié)果，只需，

，故正整數(shù)m的最小值為4.